Le nombre pi

Pour cette partie sur le nombre π, nous avons étudié comment Archimède en est arrivé à une approximation de π.

Voici notre étude :

On sait que l'aire du cercle a pour formule : π r²
On utilise un cercle trigonométrique qui a pour rayon 1
donc π r² = π 1² = 1 π = π

Il encadre cette valeur ( π ) par l'aire d'un polygone régulier inscrit dans ce cercle, et par l' aire d'un polygone régulier exinscrit. Il démarre cette approximation avec un polygone à 3 côtés, et termine avec un polygone ayant 96 côtés. Au fur et à mesure de son calcul, il encadre de plus en plus π, pour arriver à 3,14084507 < π < 3,14285714.

Nous avons reproduis la méthode qu'avait utilisé Archimède avec le logiciel de mathématiques : "Geoplan Geospace" pour en arriver à l'approximation de π.

-Sur la figure 1, le polygone régulier est un triangle équilatéral. Ce qui nous donne :

Aire du polygone régulier exinscrit (vert) > π > aire du polygone inscrit (bleu)
Aire ABD > π > Aire A'B'D'
5.196 > π > 1.299

 

 -Sur la figure 2, le polygone régulier possède 6 cotés, c'est un hexagone. Ce polygone possède 6 triangles égaux, pour connaître son air, on calcule l'air d'un triangle, puis on multiplie cette aire par 6. Ce qui nous donne :

Aire du polygone régulier exinscrit (vert) > π > aire du polygone inscrit (bleu)
Aire GOL *6 > π > Aire AOD' * 6
0.577 * 6 > π > 0.433 * 6
3.462 > π > 2.598

  

 - Sur la figure 3, le polygone régulier possède 12 cotés, c'est un dodécagone. Ce polygone possède 12 triangles égaux, pour connaître son aire, on calcule l'aire d'un triangle, puis on multiplie cette aire par 12. Ce qui nous donne :

 

 

 

Aire du polygone régulier exinscrit (vert) > π > aire du polygone inscrit (bleu)
Aire GOL' *12 > π > Aire AOQ' * 12
0.268* 12> π > 0.250 * 12
3.216 > π > 3

- Sur la figure 4, le polygone régulier possède 24 cotés, c'est un icosikaitétragone ou tétraicosagone. Ce polygone possède 24 triangles égaux, pour connaître son aire, on calcule l'aire d'un triangle, puis on multiplie cette aire par 24. Ce qui nous donne :

 

Aire du polygone régulier exinscrit (vert) > π > aire du polygone inscrit (bleu)
Aire Aog' *24 > π > Aire S'Lo * 24
0.132* 24> π > 0.129 * 24
3.168 > π > 3.096

Nous nous sommes arrêté ici, à un polygone de 24 cotés car le logiciel "géoplan-géospace" ne nous permet pas de créer des polygones supérieur a 42 cotés. De plus, un plus grand nombre de cotés aurait était illisible sur l'image. De plus nous sommes arrivés à une approximation de π telle que : 3.168 > π > 3.096 , ce qui est très proche de la valeur connue (π≈3.1415...).

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